La Relatividad sin fórmulas

Así se llama la página web que acabo de encontrar, un blog en el que se explican de manera sencilla (y sin fórmulas) diversos aspectos de la relatividad, incluyendo paradojas y aclaraciones de fenómenos como el aumento de la masa, la dilatación del tiempo o la contracción del espacio; cosas que desde que tuve mi primer contacto con las ideas de Einstein me han fascinado y que todavía no comprendo del todo. La página bien merece echarle un vistazo:

El Tamiz.

Paradoja del granero y la escalera

Bien, hoy me siento especialmente “físico” y “matemático”, así que aquí os remito una de las paradojas que más me han llamado la atención últimamente:

La «paradoja de la escalera en el granero» o en inglés Ladder Paradox o Pole-Barn Paradox (ver también The Pole-in-the-Barn Paradox y La paradoja del granero y la pértiga).

Ya sea lanza, palo, pértiga o escalera, este «experimento mental» consiste en hacer pasar un objeto alargado a través de un granero (o garaje), que tiene dos puertas. Quedémonos con una escalera que, digamos, mide 20 metros de largo, y un granero cuyo interior tiene 10 metros, con dos puertas a ambos lados (entrada y salida).

La paradoja surge cuando la escalera se mueve a una velocidad cercana a la de la luz. Por ejemplo a 0,9c (al 90 por ciento de la velocidad de la luz) la teoría de la relatividad predice que, para un observador externo (o para el propio granero), la escalera se contraería unas 2,3 veces. De modo que midiendo ya sólo 9 metros podría caber perfectamente en el interior del granero. En cambio, desde el punto de vista relativo de la escalera, es el granero el que se contrae, de modo que midiendo poco más de 4 metros sería imposible que la escalera cupiera dentro.

En el libro se explica entonces que el experimento se puede complicar un poco situando sensores en las puertas. Por ejemplo, estando las puertas cerradas, un sensor puede abrir la puerta cuando la escalera «toca» la puerta de entrada, cerrándose cuando ha terminado de pasar. Y lo mismo podría hacerse con otro sensor en la puerta de salida. ¿Qué sucedería entonces cuando la escalera pasa a toda velocidad? ¿Cabría la escalera completa en el granero, realmente?

Si la información de la observación dice que la escalera mide nueve metros, es que realmente mide nueve metros, así que la escalera cabe perfectamente. Lo extraño es que para un observador que estuviera sentado encima de la escalera, el objeto sigue midiendo 20 metros de largo y es el granero el que se ha contraído hasta medir sólo 4 metros… Para él, claramente la escalera no cabe. ¿Se vería el observador a sí mismo dentro del granero, con ambas puertas cerradas?

La solución a esta paradoja no es, como cabría esperar, nada intuitiva ni fácil de entender. Básicamente tiene que ver con un efecto colateral de los efectos relativistas, que es que el concepto de simultaneidad al que estamos acostumbrados se ve modificado. Aunque para un observador externo ambas puertas estarían en cierto momento simultáneamente cerradas y la escalera dentro, para alguien que fuera montado en la escalera el orden de los eventos sería distinto: vería abrirse la primera puerta, entrar la escalera, luego abrirse la segunda puerta, empezar a salir la escalera, luego cerrarse la primera puerta y finalmente al salir, cerrarse la segunda puerta.

Los dos observadores no podrían ponerse de acuerdo sobre qué había sucedido realmente: si la escalera estaba completamente dentro o no, si las puertas estaban cerradas a la vez o no… Ambas escenas serían consistentes dentro de sus (relativas) percepciones y, lo más divertido, ambas cosas habrían sucedido realmente para ambos y serían tan ciertas la una como la otra.

Rizando el rizo, se puede intentar un escenario imposible a ver qué sucede: hacer que el primer sensor sea el que abra la segunda puerta sólo cuando ha cerrado la primera puerta. Si el cierre de la primera puerta causa la apertura de la seguda, y las relaciones causa-efecto nunca pueden invertirse según las leyes de la física, el observador en la escalera no podría verlo en otro orden… ¿Qué sucedería entonces?

Lo que sucedería sería… un buen porrazo contra la puerta.

La sutileza del asunto es que para que ese mecanismo imaginario funcionara, el sensor debería enviar información a la segunda puerta, aunque fuera un solo bit. Pero esa información debe viajar una distancia, el largo del granero, y la escalera ya lleva bastante ventaja debido a su gran velocidad. Como la información no puede viajar más deprisa que la velocidad de la luz, cuando la señal del sensor va a llegar a la segunda puerta… la escalera ya ha colisionado.

De este modo se resuelve esta otra paradoja: ambos observadores verían lo mismo: la escalera choca contra la puerta. La teoría de la relatividad y la teoría de la información prohíben transmitir información de forma instantánea, las relaciones causa-efecto se mantienen, y la segunda puerta simplemente no puede abrise a tiempo en ese escenario.

Leído en: Microsiervos.

1+1 no es 2, o las matemáticas en el Mundo Real

En matemáticas 1+1 = 2. Pero esto no ocurre en muchas situaciones de la vida real. Lo mismo ocurre con la propiedad conmutativa de la suma (si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado) ¿es lo mismo mojarse el pelo y lavárselo con champú que lavárselo con champú y posteriormente mojárselo? Sergio Amat Plata, profesor del Departamento de Matemática Aplicada y Estadística de la Universidad Politécnica de Cartagena, nos redacta un artículo en el que incluye varios ejemplos cotidianos en los que utiliza una aritmética diferente. Un tema interesante para planteárselo a los alumnos y alumnas.

1. En una frutería podemos encontrar el kilo de peras a 1.5 euros y los dos kilos a 2 euros. Así, a + a no es igual a 2a.

2. Es más, podemos ir a un supermercado y leer “Compre uno y llévese otro de regalo” (2×1). Por lo tanto, a + a = a , lo cual sólo es posible en aritmética no diofantina.

3. Al mezclar una taza de cereales con una de leche el resultado es una taza con la mezcla, ya que, la leche es absorbida rápidamente por los cereales, así, 1 + 1 =1. Esta paradoja también ocurre al mezclar ciertos productos químicos.

4. Supongamos que deseamos realizar una llamada de teléfono en una cabina. Si una llamada local cuesta 20 céntimos de euros y disponemos de 35 céntimos, no tendríamos problemas en realizarla. Ahora bien, dado que la cabina sólo admite monedas de al menos 5 céntimos de euro, si tuviéramos los 35 céntimos en monedas de un céntimo no podríamos realizar la deseada llamada. En este submundo, sobre todo si se está solo, haciendo 1 + 1 +1 + … no llegaríamos nunca a 5 .

5. En física, existen valores finitos que son considerados como infinitos, este es el caso de la velocidad de la luz C . La teoría de la relatividad, afirma que es la velocidad mayor que puede alcanzar un cuerpo. Por lo tanto, dada una velocidad V tendremos que V + C = C.

6. En economía cantidades finitas tienen propiedades de objetos infinitos. Por ejemplo, si al precio de una casa le quitamos 30 euros, nos parecería que el precio es el mismo.

7. La aritmética utilizada por los ordenadores no puede ser clásica. En esta aritmética, cuando se ha de sumar una gran cantidad de números, y se quiere obtener un resultado aceptable, es mejor ir sumando en orden creciente, así, la propiedad asociativa no se verifica. Los errores de redondeo no aparecen en los cálculos teóricos, es decir, con la aritmética clásica.

8. Muchas de las variables físico-químicas no son aditivas: dos cuerpos a temperatura de 20º y 30º al mezclarse no tienen temperatura de 50º; lo mismo ocurre con el PH de la mezcla de dos disoluciones.

Demostración de la Teoría general de la Relatividad por un aficionado

Bueno, después de un tiempo sin postear, por fin he encontrado un hueco para la página. El siguiente artículo se publicó hace ya bastante tiempo, pero lo tenía guardado para que no se me olvidara mostrarlo. En efecto, el título del post es correcto y es verdaderamente interesante cómo lo de muestra el tal Tom Van Baak:

Se trata del efecto que tiene la gravedad sobre la forma en que transcurre el tiempo. Si bien el propio Einstein no pudo comprobarlo experimentalmente en su vida, varios laboratorios lo habían logrado. Esta vez, un hobbysta que construyó su propio reloj atómico pudo demostrar que Einstein estaba en lo cierto.

a rotación de la Tierra ha sido desde siempre el reloj natural frente al cual debían compararse los relojes mecánicos, desde el simple reloj de péndulo hasta el más avanzado cronómetro digital. En el año 1900, el segundo fue definido como “la unidad de tiempo equivalente a la fracción 1/86.400 de la longitud media del día”. 86.400 es la cantidad de segundos que hay en 24 horas.

Pero la rotación de la Tierra no es un reloj exacto. De manera muy lenta, su velocidad de giro varía. Algunas de las causas más relevantes son la atracción gravitatoria de la Luna sobre la masa de agua de los océanos y mares de la Tierra (las mareas), y la fusión de los glaciares.

Para solucionar este inconveniente, los físicos desarrollaron en 1949 el primer de reloj atómico. Este tipo de relojes se basan en un patrón de medida mucho más preciso y estable: la frecuencia de resonancia natural de un átomo. O lo que es lo mismo, el tiempo que necesita para cambiar entre dos de sus estados de energía. De esta manera, en 1967 el segundo fue redefinido como “la duración de 9.192.631.770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del cesio 133”.

Como cualquier aficionado a la electrónica sabe, contar casi 10 mil millones de pulsos en un segundo no es nada fácil. Y ni hablar de realizar esa cantidad de mediciones sobre el estado de energía de algo tan pequeño como un átomo. Es por eso que durante mucho tiempo la fabricación y mantenimiento de este tipo de relojes era algo exclusivo de los gobiernos o universidades, que cuentan con los conocimientos y el dinero necesario para realizar este tipo de desarrollos.

Sin embargo, la miniaturización y masificación de los componentes electrónicos permiten que algunos aficionados puedan intentar construir uno de estos relojes ultra precisos en casa. De hecho, existe una comunidad de unos 400 hobbystas que trabajan en ello. Se llaman a sí mismos “Time Nuts”, y dedican su tiempo libre a la búsqueda del reloj más preciso posible. Tom Van Baak, un programador Unix retirado, es uno de ellos.

Van Baak comenzó, hace una década, la construcción de lo que hoy es el reloj atómico mas preciso en manos de un particular. De hecho, es aun más preciso que el de muchos laboratorios nacionales. Su capacidad le permite realizar algunos experimentos impresionantes. Hace dos años, se dio cuenta de que tenía la posibilidad de ofrecer a sus hijos la demostración de uno de los efectos predicho por la teoría general de la relatividad de Einstein. Una demostración que el propio Einstein no pudo realizar con la tecnología disponible en su época.

La teoría general de la relatividad de Einstein predice que la gravedad retarda el paso del tiempo, efecto conocido como “dilatación del tiempo”. Cuanto mayor es la intensidad local del campo gravitatorio, mayor es el efecto de la dilatación del tiempo. Tom se propuso medir esta variación, simplemente llevando su reloj a un sitio más alto, donde la fuerza de la gravedad fuese ligeramente menor, y luego comparar la “hora” de su aparato con la de los demás relojes atómicos.

Cargó en su coche a los niños y a su reloj, y manejó hasta una montaña. La altura en el lugar era de unos 2000 metros, y Tom permaneció allí un par de días. Mientras que los niños disfrutaban del paisaje, calculo cual sería el efecto de la menor gravedad local sobre su reloj.

Al llegar a casa, pudo comprobar cómo su reloj difería en 22 nanosegundos de los utilizados como patrón, exactamente lo que él, utilizando la teoría general de la relatividad de Einstein, había predicho.

No estamos seguros de que los hijos de Tom hayan comprendido que fue lo que quiso mostrarles su padre. Pero hay algo que es seguro: Tom Van Baak es la envidia de sus compañeros de hobby.

Visto en: NeoTeo.